i) 512– 492

= (51 + 49)(51 – 49) = 100 x 2 = 200

ii) (1.02)2– (0.98)2

= (1.02 + 0.98)(1.02 – 0.98) = 2 x 0.04 = 0.08

iii) 1532 – 1472

= (153 + 147)(153 – 147) = 300 x 6 = 1800

iv) 12.12 – 7.92

= (12.1 + 7.9)(12.1 – 7.9) = 20 x 4.2= 84

i) 712

= (70+1)2

= 702 + 140 + 12

= 4900 + 140 +1

= 5041

ii) 99²

= (100 -1)2

= 1002 – 200 + 12

= 10000 – 200 + 1

= 9801

iii) 1022

= (100 + 2)2

= 1002 + 400 + 22

= 10000 + 400 + 4 = 10404

iv) 9982

= (1000 – 2)2

= 10002 – 4000 + 22

= 1000000 – 4000 + 4

= 996004

v) 5.22

= (5 + 0.2)2

= 52 + 2 + 0.22

= 25 + 2 + 0.4 = 27.4

vi) 297 x 303

= (300 – 3 )(300 + 3)

= 3002 – 32

= 90000 – 9

= 89991

vii) 78 x 82

= (80 – 2)(80 + 2)

= 802 – 22

= 6400 – 4

= 6396

viii) 8.92

= (9 – 0.1)2

= 92 – 1.8 + 0.12

= 81 – 1.8 + 0.01

= 79.21

ix) 10.5 x 9.5

= (10 + 0.5)(10 – 0.5)

= 102 – 0.52

= 100 – 0.25

= 99.75

i) LHS = (3x + 7)2 – 84x

= 9x2 + 42x + 49 – 84x
= 9x2 – 42x + 49
= RHS

LHS = RHS

ii)  LHS = (9p – 5q)2+ 180pq
= 81p2 – 90pq + 25q2 + 180pq
= 81p2 + 90pq + 25q2
RHS = (9p + 5q)2
= 81p2 + 90pq + 25q2
LHS = RHS

LHS = RHS

iv)  LHS = (4pq + 3q)2– (4pq – 3q)2

= 16p2q2 + 24pq2 + 9q2 – 16p2q2 + 24pq2 – 9q2

= 48pq2

= RHS

LHS = RHS

v) LHS = (a – b) (a + b) + (b – c) (b + c) + (c – a) (c + a)

= a2 – b2 + b2 – c2 + c2 – a2

= 0

= RHS

i) (a2– b2)2 = a4 + b4 – 2a2b2

ii) (2x + 5)2  – (2x – 5)2
= 4x2 + 20x + 25 – (4x2 – 20x + 25) = 4x2 + 20x + 25 – 4x2 + 20x – 25 = 40x

iii) (7m – 8n)2 + (7m + 8n)2
= 49m2 – 112mn + 64n2 + 49m2 + 112mn + 49n2
= 98m2 + 128n2

iv) (4m + 5n)2 + (5m + 4n)2
= 16m2 + 40mn + 25n2 + 25m2 + 40mn + 16n2
= 41m2 + 80mn + 41n2

v) (2.5p – 1.5q)2 – (1.5p – 2.5q)2
= 6.25p2 – 7.5pq + 2.25q2 – 2.25p2 + 7.5pq – 6.25q2
= 4p2 – 4q2

vi) (ab + bc)2– 2ab²c = a2b2 + 2ab2c + b2c2 – 2ab2c = a2b2 + b2c2

vii) (m2 – n2m)2 + 2m3n2
= m4 – 2m3n2 + m2n4 + 2m3n2
= m4 + m2n4

Using identities:

(a – b) 2 = a2 + b2 – 2ab (a + b) 2 = a2 + b2 + 2ab

(i) (b – 7)2 = b2 – 14b + 49

(ii) (xy + 3z)2 = x2y2 + 6xyz + 9z2

(iii) (6x2 – 5y)2 = 36x4 – 60x2y + 25y2

(iv) [(2m/3}) + (3n/2)]2 = (4m2/9) +(9n2/4) + 2mn

(v) (0.4p – 0.5q)2 = 0.16p2 – 0.4pq + 0.25q2

(vi) (2xy + 5y)2 = 4x2y2 + 20xy2 + 25y2

(i)(x + 3) (x + 7)

= x2 + (3+7)x + 21

= x2 + 10x + 21

ii) (4x + 5) (4x + 1)

= 16x2 + 4x + 20x + 5

= 16x2 + 24x + 5

iii) (4x – 5) (4x – 1)

= 16x2 – 4x – 20x + 5

= 16x2 – 24x + 5

iv) (4x + 5) (4x – 1)

= 16x2 + (5-1)4x – 5

= 16x2 +16x – 5

v) (2x + 5y) (2x + 3y)

= 4x2 + (5y + 3y)2x + 15y2

= 4x2 + 16xy + 15y2

vi) (2a2+ 9) (2a2+ 5)

= 4a4 + (9+5)2a2 + 45

= 4a4 + 28a2 + 45

vii) (xyz – 4) (xyz – 2)

= x2y2z2 + (-4 -2)xyz + 8

= x2y2z2 – 6xyz + 8

(i) (x + 3) (x + 3) = (x + 3)2

= x2 + 6x + 9 Using (a+b) 2 = a2 + b2 + 2ab

ii) (2y + 5) (2y + 5) = (2y + 5)2

= 4y2 + 20y + 25 Using (a+b) 2 = a2 + b2 + 2ab

iii) (2a – 7) (2a – 7) = (2a – 7)2

= 4a2 – 28a + 49

Using (a-b) 2

= a2 + b2 – 2ab

iv) (3a – 1/2)(3a – 1/2) = (3a – 1/2)2

=  9a2 -3a+(1/4)

Using (a-b) 2

= a2 + b2 – 2ab

v)   (1.1m – 0.4) (1.1m + 0.4)

= 1.21m2 – 0.16

Using (a – b)(a + b)

= a2 – b2

vi) (a2+ b2) (– a2+ b2)

= (b2 + a2 ) (b2 – a2)

= -a4 + b4

Using (a – b)(a + b) = a2 – b2

vii) (6x – 7) (6x + 7)

=36x2 – 49 Using (a – b)(a + b)

= a2 – b2

viii) (– a + c) (– a + c) = (– a + c)2

= c2 + a2 – 2ac Using (a-b) 2

= a2 + b2 – 2ab

= (x2/4) + (9y2/16) + (3xy/4)

Using (a+b) 2

= a2 + b2 + 2ab

x) (7a – 9b) (7a – 9b) = (7a – 9b)2

= 49a2 – 126ab + 81b2

Using (a-b) 2 = a2 + b2 – 2ab

i) (x2– 5) (x + 5) + 25

= x3 + 5x2 – 5x – 25 + 25

= x3 + 5x2 – 5x

ii) (a2+ 5) (b3+ 3) + 5

= a2b3 + 3a2 + 5b3 + 15 + 5

= a2b3 + 5b3 + 3a2 + 20

iii) (t + s2)(t2 – s)

= t (t2 – s) + s2(t2 – s)

= t3 – st + s2t2 – s3

= t3 – s3 – st + s2t2

iv) (a + b) (c – d) + (a – b) (c + d) + 2 (ac + bd)

= (a + b) (c – d) + (a – b) (c + d) + 2 (ac + bd)

=(ac – ad + bc – bd) + (ac + ad – bc – bd) + (2ac + 2bd)

= ac – ad + bc – bd + ac + ad – bc – bd + 2ac + 2bd

= 4ac

v) (x + y)(2x + y) + (x + 2y)(x – y)

= 2x2 + xy + 2xy + y2 + x2 – xy + 2xy – 2y2

= 3x2 + 4xy – y2

vi) (x + y)(x2– xy + y2)

= x3 – x2y + xy2 + x2y – xy2 + y3

= x3 + y3

vii) (1.5x – 4y)(1.5x + 4y + 3) – 4.5x + 12y

= 2.25x2 + 6xy + 4.5x – 6xy – 16y2 – 12y – 4.5x + 12y = 2.25x2 – 16y2

viii) (a + b + c)(a + b – c)

= a2 + ab – ac + ab + b2 – bc + ac + bc – c2

= a2 + b2 – c2 + 2ab

(i) (5 – 2x) (3 + x)

= 5 (3 + x) – 2x (3 + x)

=15 + 5x – 6x – 2x2

= 15 – x -2 x 2

(ii) (x + 7y) (7x – y)

= x(7x-y) + 7y ( 7x-y)

=7x2 – xy + 49xy – 7y2

= 7x2 – 7y2 + 48xy

iii) (a2+ b) (a + b2)

= a2  (a + b2) + b(a + b2)

= a3 + a2b2 + ab + b3

= a3 + b3 + a2b2 + ab

iv) (p2– q2) (2p + q)

= p2 (2p + q) – q2 (2p + q)

=2p3 + p2q – 2pq2 – q3

= 2p3 – q3 + p2q – 2pq2

(i) (2x + 5)(4x – 3)

= 2x x 4x – 2x x 3 + 5 x 4x – 5 x 3

= 8x² – 6x + 20x -15

= 8x² + 14x -15

ii) ( y – 8)(3y – 4)

= y x 3y – 4y – 8 x 3y + 32

= 3y2 – 4y – 24y + 32

= 3y2 – 28y + 32

(iii) (2.5l – 0.5m)(2.5l + 0.5m)

= 2.5l x 2.5 l + 2.5l x 0.5m – 0.5m x 2.5l – 0.5m x 0.5m

= 6.25l2 + 1.25 lm – 1.25 lm – 0.25 m2

= 6.25l2– 0.25 m2

iv) (a + 3b) (x + 5)

= ax + 5a + 3bx + 15b

v) (2pq + 3q2) (3pq – 2q2)

= 2pq x 3pq – 2pq x 2q2 + 3q2 x 3pq – 3q2 x 2q2

= 6p2q2 – 4pq3 + 9pq3 – 6q4

= 6p2q2 + 5pq3 – 6q4

(vi) (3/4 a² + 3b² ) and 4( a² – 2/3 b² )

=(3/4 a² + 3b² ) x 4( a² – 2/3 b² )

=(3/4 a² + 3b² ) x (4a² – 8/3 b² )

=3/4 a² x (4a² – 8/3 b² ) + 3b² x (4a² – 8/3 b² )

=3/4 a² x 4a² -3/4 a² x 8/3 b² + 3b² x 4a² – 3b² x 8/3 b²

=3a4 – 2a² b² + 12 a²  b² – 8b4

= 3a4 + 10a²  b² – 8b4